题目内容

如图，F1，F2是双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右分支分别交于A，B两点．若AB：BF2：AF2=3：4：5，则双曲线的离心率为______．
∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，
∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，
又由双曲线的定义得：|BF1|-|BF2|=2a，|AF2|-|AF1|=2a，
∴|AF1|+3-4=5-|AF1|，∴|AF1|=3．
∴|BF1|-|BF2|=3+3-4=2a，∴a=1．
在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，
又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，
∴c=
13
，
∴双曲线的离心率e=
c
a
=
13
．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线的方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（　　）
A．
x2
9
-
y2
16
=1		B．
x2
16
-
y2
9
=1		C．
y2
9
-
x2
16
=1		D．
y2
16
-
x2
9
=1
已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且斜率为
3
的直线交C于A、B两点，若
AF
=4
FB
，则双曲线C的离心率为______．
双曲线C的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|
OA
|=2|
FA
|，且
BF
与
FA
同向．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）设AB被双曲线C所截得的线段的长为4，求双曲线C的方程．
已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为（　　）
A．1B．2C．3D．4
连接双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1与
y2
b2
-
x2
a2
=1的四个顶点构成的四边形的面积为S1，连接它们的四个焦点构成的四边形的面积为S2，则S1：S2的最大值是（　　）
A．2B．1C．
1
2
D．
1
4
曲线
x2
25
-
y2
9
=1与曲线
x2
25-k
-
y2
9+k
=1(-9＜k＜25)的（　　）
A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
已知双曲线
y2
4
-x2=1，则它的渐近线方程为（　　）
A．y=±2xB．y=±
1
2
x		C．y=±4xD．y=±
1
4
x
下列命题正确的是______
①动点M至两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且λ≠1）．则动点M的轨迹是圆．
②椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，则b=c(c为半焦距）．
③双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为b．
④知抛物线y2=2px上两点A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB（O为原点），则y1y2=-p2．
A．②③④B．①④C．①②③D．①③

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