题目内容
【题目】已知曲线上的任意一点到两定点
、
距离之和为
,直线
交曲线
于
两点,
为坐标原点.
(1)求曲线的方程;
(2)若不过点
且不平行于坐标轴,记线段
的中点为
,求证:直线
的斜率与
的斜率的乘积为定值;
(3)若直线过点
,求
面积的最大值,以及取最大值时直线
的方程.
【答案】(1)(2)证明见解析;(3)
或
【解析】
(1)利用椭圆的定义可知曲线为的椭圆,直接写出椭圆的方程.
(2)设直线,设
,联立直线方程与椭圆方程,通过韦达定理求解KOM,然后推出直线OM的斜率与
的斜率的乘积为定值.
(3)设直线方程是与椭圆方程联立,根据面积公式
,代入根与系数的关系,利用换元和基本不等式求最值.
(1)由题意知曲线是以原点为中心,长轴在
轴上的椭圆,
设其标准方程为,则有
,
所以,∴
.
(2)证明:设直线的方程为
,
设
则由 可得
,即
∴,∴
,
,
,
∴直线的斜率与
的斜率的乘积=
为定值
(3)点,
由 可得
,
,解得
∴
设
当时,
取得最大值
.
此时,即
所以直线方程是

练习册系列答案
相关题目
【题目】在一次抽样调查中测得样本的6组数据,得到一个变量关于
的回归方程模型,其对应的数值如下表:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
(1)请用相关系数加以说明
与
之间存在线性相关关系(当
时,说明
与
之间具有线性相关关系);
(2)根据(1)的判断结果,建立关于
的回归方程并预测当
时,对应的
值为多少(
精确到
).
附参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
,相关系数
公式为:
.
参考数据:
,
,
,
.