Question

15．函数f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，5]上是减函数，求f（2）的取值范围．

Answer 1

分析 通过函数f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，5]上是减函数可知对称轴在区间的右边可知a≥$\frac{11}{3}$，进而f（2）≥$（\frac{11}{3}-3）^{2}$-3=-$\frac{23}{9}$．

解答 解：f（x）=x²-（3a-1）x+a²=$（x-\frac{3a-1}{2}）^{2}$-$\frac{5{a}^{2}-6a+1}{4}$，
∵函数f（x）=x²-（3a-1）x+a²在[1，5]上是减函数，
∴$\frac{3a-1}{2}$≥5，
解得：a≥$\frac{11}{3}$，
∴f（2）=4-2（3a-1）+a²
=（a-3）²-3
≥$（\frac{11}{3}-3）^{2}$-3
=-$\frac{23}{9}$，
∴f（2）的取值范围是[-$\frac{23}{9}$，+∞）．

点评 本题考查二次函数的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．