题目内容
【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆
与直线
相交于
两点,使得四边形
为面积等于
的矩形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆上一动点
(不在
轴上)作圆
的两条切线
,切点分别为
,直线
与椭圆
交于
两点,
为坐标原点,求
的面积
的取值范围.
【答案】(1)(2),
【解析】试题分析:(1)由矩形为面积等于
可得
,故椭圆方程可化为
,又由题意可得
,代入椭圆方程可解得
,从而可得椭圆的方程;(2)设
,根据相交两圆的公共弦所在直线方程的求法得到直线
的方程为
,用代数方法求出弦长
,从而可得
的面积,最后根据函数的知识求范围。
试题解析:
(1)∵四边形为面积等于
的矩形,
∴,故
,
∴椭圆方程化为,且点
,
∵点A在椭圆上,
∴,
整理得,
解得。
∴椭圆的方程为
;
(2)设,则以线段
为直径的圆的方程为
,
又圆的方程为
,
两式相减得直线的方程为
.
由消去y整理得
∵直线与椭圆
交于
两点,
∴,
设,
则
又原点到直线CD的距离为,
∴
设,
∵,
∴
又在
上单调递增,
∴,
所以的面积
的取值范围为
.
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