题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,
,
为其左、右顶点,
为椭圆上除
,
外任意一点,若记直线
,
斜率分别为
,
.
(1)求证:为定值;
(2)若椭圆的长轴长为4,过点
作两条互相垂直的直线
,
,若
恰好为
与椭圆相交的弦的中点,求
与椭圆相交的弦的中点的横坐标.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
【解析】分析:(1)由题意,
,设
,表示出
,
.
,
.然后又P在椭圆上可得
,故
即可;(2)先得出椭圆方程:
. 设
与椭圆交点为
,
,
与椭圆交点为
,
,代入椭圆方程作差可得
,结合中点可得
.故可得
方程,联立椭圆即可.
详解:
(1)由题意,
,设
,
则,
.
又在椭圆上,∴
,
;
∴
,
∵,∴
为定值.
(2)∵,∴
,
,
.
∴椭圆方程为.
设与椭圆交点为
,
,
与椭圆交点为
,
,
则
②-①得:,
又,
,∴
.
∴,即
.
∵,∴
.
方程:
,即
.
由消去
得
.
∴,∴
.
即与椭圆相交的弦的中点横坐标为
.
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