题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，
，
为其左、右顶点，
为椭圆上除，外任意一点，若记直线
，
斜率分别为
，
.
（1）求证：
为定值；
（2）若椭圆的长轴长为4，过点
作两条互相垂直的直线
，
，若
恰好为与椭圆相交的弦的中点，求与椭圆相交的弦的中点的横坐标.
【答案】(1)证明见解析.
（2）
.
【解析】分析：（1）由题意
，
，设
，表示出
，
.
，
.然后又P在椭圆上可得
，故
即可；（2）先得出椭圆方程：
. 设
与椭圆交点为
，
，
与椭圆交点为
，
，代入椭圆方程作差可得
，结合中点可得
.故可得
方程，联立椭圆即可.
详解：
（1）由题意，，设，
则，.
又
在椭圆上，∴
，；
∴
，
∵
，∴
为定值.
（2）∵
，∴
，
，
.
∴椭圆方程为.
设与椭圆交点为，，与椭圆交点为，，
则
②-①得：，
又
，
，∴
.
∴
，即.
∵
，∴
.
方程：
，即
.
由
消去
得
.
∴
，∴
.
即与椭圆相交的弦的中点横坐标为.
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