题目内容
【题目】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是PB,PD的中点.
(I)求证:PB∥平面FAC;
(II)求三棱锥P-EAD的体积;
(III)求证:平面EAD⊥平面FAC.
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】分析:(1)连接BD,与AC交于点O,连接OF,推导出OF∥PB,由此能证明PB//平面FAC;
(2)由PA⊥平面ABCD,知为棱锥
的高,由
,知
,由此能求出结果;
(3)推导出,从而
平面
,进而
平面
,由此能证明平面
平面
.
详解:(I)连接BD,与AC交于点O,连接OF,
在△PBD中,O,F分别是BD,PD中点,
所以OF∥PB,
又因为OF平面FAC, PB
平面FAC,
所以PB//平面FAC,
(II)法1:因为PA⊥平面ABCD,AB,AD平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AD,
又因为AB⊥AD,,PA,AB
平面PAB,
所以AD⊥平面PAB,
在直角△PAB中,PA=AB=2,E为PB中点,
所以,
所以三棱锥P-EAD的体积为.
法2:因为PA⊥平面ABCD,所以PA为棱锥P-ABD的高.
因为PA=AB=2,底面ABCD是正方形,
所以,
因为E为PB中点,所以
所以.
(III)证明:
因为AD⊥平面PAB,PB平面PAB,
所以AD⊥PB,
在等腰直角△PAB中,AE⊥PB,
又,AE,AD
平面EAD,
所以PB⊥平面EAD,
又OF∥PB,
所以OF⊥平面EAD,
又OF平面FAC,
所以平面EAD⊥平面FAC.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目