Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2emx（m∈R）．
（1）当a=1，求函数f（x）的最大值
（2）当a＜0，且对任意实数x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）= ﹣aln（1+x）= ，

f′（x）= （x＞﹣1），

当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为增函数．

∴f（x）max=f（0）=0；

（2）解：令h（x）=f（x）+1，

当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，

即当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，h（x1）≥g（x2）恒成立，

等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，hmin（x）≥gmax（x）成立，

当a＜0时，由h（x）= ﹣aln（1+x）+1，得h′（x）= = （x＞﹣1），

当x∈（﹣1，1﹣a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当x∈（1﹣a，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，

若1﹣a＜2，即﹣1＜a＜0，h（x）在（0，1﹣a）上为增函数，在（1﹣a，2）上为减函数，

h（x）的最小值为min{h（0），h（2）}=min{1， }=1，

若1﹣a≥2，即a≤﹣1，h（x）在（0，2）上为增函数，函数f（x）在[0，2]上的最小值为f（0）=1，

∴f（x）的最小值为f（0）=1，

g（x）的导数g′（x）=2xemx+x2emxm=（mx2+2x）emx，

当m=0时，g（x）=x2，x∈[0，2]时，gmax（x）=g（2）=4，显然不满足gmax（x）≤1，

当m≠0时，令g′（x）=0得， ，①当﹣ ≥2，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，2]单调递增，∴ ，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，则﹣1≤m≤﹣ln2；②当0＜﹣ ＜2，即m＜﹣1时，在[0，﹣ ]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，在[﹣ ，2]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（﹣ ）= ，只需≤ 1，得m≤﹣ ，则m＜﹣1；③当﹣ ＜0，即m＞0时，显然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）max=g（2）=4e2m，4e2m≤1不成立．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．

【解析】（1）把a=1代入函数解析式，直接利用导数求得函数的最值；（2）构造函数h（x）=f（x）+1，对任意的x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1 ， x2∈[0，2]，hmin（x）≥gmax（x）成立，分类求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的导数，对m讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到实数m的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用函数的最值及其几何意义，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值即可以解答此题．