Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+2），且当x∈[-1，0]时f（x）=（

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2

）^x-1，则关于x的方程f（x）-log₃（x+2）=0在[-1，3]内实根的个数为

2

．

Answer 1

分析：由偶函数f（x）=f（x+2），可知定义在R上的函数f（x）是以2为周期的函数，由x∈[-1，0]时f（x）=（

1

2

）^x-1的图象，可得到x∈[0，1]时f（x）的图象，从而得到其在[-1，3]内的图象，关于x的方程f（x）-log₃（x+2）=0在[-1，3]内实根的个数就是f（x）与g（x）=log₃（x+2）=0在[-1，3]内的交点个数．

解答：解：∵f（x）=f（x+2），
∴f（x）是以2为周期的函数，
又f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[-1，0]时f（x）=（

1

2

）^x-1，
∴当x=-1时，f（-1）=1，f（，0）=0，
又f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（1）=1，
令g（x）=log₃（x+2），g（-1）=0，g（1）=1，，g（x）为增函数，
则关于x的方程f（x）-log₃（x+2）=0在[-1，3]内实根的个数
就是f（x）与g（x）=log₃（x+2）的图象在[-1，3]内的交点个数
其图象如下：
由图象可得，两曲线在[-1，3]内有两个交点，即关于x的方程f（x）-log₃（x+2）=0在[-1，3]内实根的个数为2个．
故答案为：2．

点评：本题考查函数的周期性与奇偶性，作出函数图象是关键，考查转化与数形结合的思想，属于中档题．