Question

【题目】设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），且f（2）=1，当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，则f（0﹣0）=f（0）﹣f（0），∴f（0）=0
（2）解：函数y=f（x）在定义域R上单调递增，理由如下：

任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．

∵当x＞0时，f（x）＞0．

∴f（x1﹣x2）=f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），

∴函数y=f（x）在定义域R上单调递增

（3）解：∵f（x﹣y）=f（x）﹣f（y）．

∴f（x）=f（x﹣y）+f（y），

∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（2）+f（4﹣2）=f（4），

∵f（x）+f（x+2）＜2，

∴f（x）+f（x+2）＜f（4）．

∴f（x+2）＜f（4）﹣f（x）=f（4﹣x）．

∵函数y=f（x）在定义域R上单调递增，∴x+2＜4﹣x，

从而x＜1．

∴x的取值范围为{x|x＜1}

【解析】（1）令x=y=0，可得f（0﹣0）=f（0）﹣f（0），即可得出f（0）．（2）任取x1 ， x2∈R，不妨设x1＞x2 ， 则x1﹣x2＞0．根据当x＞0时，f（x）＞0．可得f（x1﹣x2）=f（x1）﹣f（x2）＞0，∴即可得出单调性．（3）由f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），可得f（x）=f（x﹣y）+f（y），可得2=f（2）+f（2）=f（4），于是f（x）+f（x+2）＜2，转化为：f（x）+f（x+2）＜f（4）．即f（x+2）＜f（4﹣x）．再利用函数y=f（x）在定义域R上单调递增，即可得出．