Question

【题目】已知函数f（x）=exsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当 时，f（x）≥kx，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） f′（x）=exsinx+excosx=ex（sinx+cosx）， 令 ，
当 单调递增，
单调递减
（Ⅱ） 令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，
令h（x）=ex（sinx+cosx）h′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=2excosx，
∵ 在 上单调递增， ，
当k≤1时，g′（x）≥0，g（x）在 上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当 时，g′（x）≤0g（x）在 上单调递减，g（x）≤g（0）=0，与题意不合；
当 时，g′（x）为一个单调递增的函数，而 ，
由零点存在性定理，必存在一个零点x0 ， 使得g′（x0）=0，
当x∈[0，x0）时，g′（x）≤0，从而g（x）在x∈[0，x0）上单调递减，
从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，
综上所述：k的取值范围为（﹣∞，1]
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合三角函数的性质求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，通过讨论k的范围确定函数的单调性，从而求出k的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．