题目内容

13.已知数列{an},Sn是其前n项的且满足$3{a_n}=2{S_n}+n(n∈{N^*})$
(I)求证:数列$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$为等比数列;
(Ⅱ)记{(-1)nSn}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.

分析 (I)通过$3{a_n}=2{S_n}+n(n∈{N^*})$与3an+1=2Sn+1+n+1作差、整理可得an+1+$\frac{1}{2}$=3(an+$\frac{1}{2}$),进而可得结论;
(Ⅱ)通过(I)可知:当n=2k-1时bn=$\frac{n}{2}$-$\frac{3}{4}$(3n-1),当n=2k时bn=$\frac{3}{4}$(3n-1)-$\frac{n}{2}$,进而数列{ck=b2k-1+b2k}的前n项和Qn=$\frac{9}{16}$(9n-1),利用Tn=${Q}_{\frac{n-1}{2}}$+bn(n为奇数)、Tn=${Q}_{\frac{n}{2}}$(n为偶数),计算即得结论.

解答 (I)证明:∵$3{a_n}=2{S_n}+n(n∈{N^*})$,
∴3an+1=2Sn+1+n+1,
两式相减得:3an+1-3an=2an+1+1,
整理得:an+1=3an+1,
∴an+1+$\frac{1}{2}$=3(an+$\frac{1}{2}$),
又∵3a1=2a1+1,
∴a1=1,a1+$\frac{1}{2}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$,
∴数列$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是以$\frac{3}{2}$为首项、3为公比的等比数列;
(Ⅱ)解:由(I)可知:Sn=$\frac{\frac{3}{2}(1-{3}^{n})}{1-3}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{3}{4}$(3n-1)-$\frac{n}{2}$,
记bn=(-1)nSn,对n分奇数、偶数讨论:
当n=2k-1时,bn=-Sn=$\frac{n}{2}$-$\frac{3}{4}$(3n-1);
当n=2k时,bn=Sn=$\frac{3}{4}$(3n-1)-$\frac{n}{2}$;
记ck=b2k-1+b2k
则ck=$\frac{n}{2}$-$\frac{3}{4}$(32k-1-1)+$\frac{3}{4}$(32k-1)-$\frac{n}{2}$
=-$\frac{1}{4}$•32k+$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$•32k-$\frac{3}{4}$
=$\frac{1}{2}$•9k
∴数列{ck}的前n项和Qn=$\frac{\frac{9}{2}(1-{9}^{n})}{1-9}$=$\frac{9}{16}$(9n-1),
∴当n为奇数时,Tn=${Q}_{\frac{n-1}{2}}$+bn
=$\frac{9}{16}$(${9}^{\frac{n-1}{2}}$-1)-$\frac{3}{4}$(3n-1)
=$\frac{3}{16}$-$\frac{3}{16}$•3n+1
当n为偶数时,Tn=${Q}_{\frac{n}{2}}$=$\frac{9}{16}$•3n-$\frac{9}{16}$;
综上所述,Tn=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{16}-\frac{3}{16}•{3}^{2k},}&{n=2k-1}\\{\frac{9}{16}•{3}^{2k}-\frac{9}{16},}&{n=2k}\end{array}\right.$.

点评 本题考查等比数列的判定,考查数列的前n项和,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.

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