题目内容
4.过原点O的直线l与函数f(x)=|lnx|(x∈(0,e)e为自然对数的底数)的图象从左到右依次交于点A,B两点,如果A为OB的中点,则A点的坐标为($\frac{\root{3}{4}}{2}$,$\frac{1}{3}$ln2).分析 由已知可得A点在f(x)=-lnx上,令A点坐标为(a,-lna),则B点坐标为:(2a,-2lna),又由B点在f(x)=lnx上,B点坐标还可表示为:(2a,ln2a),进而构造对数方程,求出a值,可得答案.
解答 解:若原点O的直线l与函数f(x)=|lnx|(x∈(0,e)e为自然对数的底数)的图象从左到右依次交于点A,B两点,
如果A为OB的中点,
则A点在f(x)=-lnx上,
令A点坐标为(a,-lna),
则B点坐标为:(2a,-2lna),
又由B点在f(x)=lnx上,
∴B点坐标还可表示为:(2a,ln2a),
即-2lna=ln2a,
即a-2=2a,
解得:a=$\frac{\root{3}{4}}{2}$,
又由ln2a=ln$\root{3}{4}$=$\frac{1}{3}$ln2,
故A点的坐标为($\frac{\root{3}{4}}{2}$,$\frac{1}{3}$ln2),
故答案为:($\frac{\root{3}{4}}{2}$,$\frac{1}{3}$ln2)
点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,中点坐标公式,难度中档.
练习册系列答案
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