题目内容
已知函数f(x)=;
(1)求y=f(x)在点P(0,1)处的切线方程;
(2)设g(x)=f(x)+x-1仅有一个零点,求实数m的值;
(3)试探究函数f(x)是否存在单调递减区间?若有,设其单调区间为[t,s],试求s-t的取值范围?若没有,请说明理由。
(1)求y=f(x)在点P(0,1)处的切线方程;
(2)设g(x)=f(x)+x-1仅有一个零点,求实数m的值;
(3)试探究函数f(x)是否存在单调递减区间?若有,设其单调区间为[t,s],试求s-t的取值范围?若没有,请说明理由。
(1)∵点P在函数y=f(x)上,由f(x)=得: 故切线方程为:y=-x+1
(2)由g(x)=f(x)+x-1=可知:定义域为,且g(0)=0,显然x=0为y=g(x)的一个零点;
则
①当m=1时,,即函数y=g(x)在上单调递增,g(0)=0,故仅有一个零点,满足题意。
②当m>1时,则,列表分析:
又∵x→-1时,g(x)→-,∴g(x)在上有一根,这与y=g(x)仅有一根矛盾,
故此种情况不符题意。
(3)假设y=f(x)存在单调区间,由f(x)=得:,
令∵,h(-1)=m+2-m-1=1>0,∴h(x)=0在上一定存在两个不同的实数根s,t,………12分
即, 的解集为(t,s),即函数f(x)存在单调区间[t,s],则s-t=,由m≥1可得:s-t
(2)由g(x)=f(x)+x-1=可知:定义域为,且g(0)=0,显然x=0为y=g(x)的一个零点;
则
①当m=1时,,即函数y=g(x)在上单调递增,g(0)=0,故仅有一个零点,满足题意。
②当m>1时,则,列表分析:
x | 0 | ||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
g(x) | [ | 极大值 | 极小值 0 |
故此种情况不符题意。
(3)假设y=f(x)存在单调区间,由f(x)=得:,
令∵,h(-1)=m+2-m-1=1>0,∴h(x)=0在上一定存在两个不同的实数根s,t,………12分
即, 的解集为(t,s),即函数f(x)存在单调区间[t,s],则s-t=,由m≥1可得:s-t
略
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