题目内容
已知函数若函数在x = 0处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 若关于x的方程在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数的取值范围;
(3) 证明:对任意的自然数n,有恒成立.
(1);(2) ;(3)见解析.
解析试题分析:(1)先有已知条件写出的解析式,然后求导,根据导数与函数极值的关系得到,解得的值;(2)由构造函数,则在上恰有两个不同的实数根等价于在恰有两个不同实数根,对函数求导,根据函数的单调性与导数的关系找到函数的单调区间,再由零点的存在性定理得到,解不等式组即可;(3) 证明不等式,即是证明.对函数求导,利用导数研究函数的单调性,找到其在区间上的最大值,则有成立,那么不等式成立,利用二次函数的图像与性质可得的单调性与最小值,根据,那么,所给不等式得证.
试题解析:(1) 由题意知则, 2分
∵时, 取得极值,∴,故,解得.
经检验符合题意. 4分
(2)由知
由 ,得, 5分
令,
则在上恰有两个不同的实数根等价于在恰有两个不同实数根. , 7分
当时,,于是在上单调递增;
当时,,于是在上单调递减.依题意有
,即, .9分
(3) 的定义域为,由(1)知,
令得,或 (舍去), 11分
∴当时,,单调递增;
当时,,单调递减. ∴
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