Question

已知函数.
（I）求f（x）的单调区间及极值；
（II）若关于x的不等式恒成立，求实数a的集合.

Answer 1

（I）的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值；（II）.

解析试题分析：（I）先求已知函数的导数，根据函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，根据单调性求函数的极值；（II）由已知得，求解的恒成立问题，即是求解恒成立时的取值集合，对分和两种情况，结合函数的单调性与导数的关系进行讨论，求得每种情况下的取值，最后结果取两部分的并集.
试题解析：（I）函数的定义域为.
因为，                                               1分
令，解得，                                            2分
当时，；当时，，                    3分
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.           4分
故在处取得极小值.                              5分
（II）由知，.          6分
①若，则当时，，
即与已知条件矛盾；                                    7分
②若，令，则，
当时，；当时，，
所以，                  9分
所以要使得不等式恒成立，只需即可，
再令，则，当时， ，当时，， 
所以在上单调递减；在上单调递增，即，所以，
综上所述，的取值集合为.                              12分
考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、利用导数研究函数的极值；3、对数函数的定义域；4、分类讨论的思想.