题目内容
已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若在区间
上恒成立,求实数
的取值范围.
(Ⅰ)切线方程为.
(Ⅱ)当时,
的单调增区间是
和
,单调减区间是
;
当时,
的单调增区间是
;
当时,
的单调增区间是
和
,单调减区间是
.
(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)切线的斜率,等于在切点的导函数值.
(Ⅱ)通过“求导数,求驻点,讨论各区间导数值的正负”,确定函数的单调区间。本题应特别注意讨论,
,
时的不同情况.
(Ⅲ)在区间
上恒成立,只需
在区间
的最小值不大于0.
试题解析:(Ⅰ)因为,
,
所以, 1分
,
, 3分
所以切线方程为. 4分
(Ⅱ), 5分
由得
, 6分
当时,在
或
时
,在
时
,
所以的单调增区间是
和
,单调减区间是
; 7分
当时,在
时
,所以
的单调增区间是
; 8分
当时,在
或
时
,在
时
.
所以的单调增区间是
和
,单调减区间是
. 10分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知在区间
上只可能有极小值点,
所以在区间
上的最大值在区间的端点处取到, 12分
即有且
,
解得. 14分
考点:导数的几何意义,应用导数研究函数的单调性、最值.