题目内容

已知函数,其中.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,当时,若,总有成立,求实数的取值范围.

(1)见解析;(2);(3).

解析试题分析:(1)求出,然后根据 的符号讨论的单调性;(2)求出,然后将条件转化为 , .然后分离参数得到,然后用基本不等式求得即可得到 的取值范围;(3)将“若,总有成立”转化成“ 在 上的最大值不小于 在 上的最大值”即可求得的取值范围.
试题解析:(1)的定义域为,且
①当 时, , 在 上单调递增;
②当 时,由,得 ;由 ,得 ;
 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2) , 的定义域为 . .
因为 在其定义域内为增函数,所以 , .
 .
 ,当且仅当 时取等号,所以 .
(3)当 时, , .
 得 或 .
 时, ;当 时, .
所以在 上, .
而“,总有成立”等价于“ 在 上的最大值不小于 在 上的最大值”.
 在 上的最大值为 ,
所以有.
所以实数的取值范围是.
考点:1.导数求函数的单调性;2.分离参数解函数恒成立问题;3.转化思想.

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