题目内容
【题目】如图,四棱锥,侧面
是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面
是
的菱形,
为
的中点.
(1)在棱上是否存在一点
,使得
,
,
,
四点共面?若存在,指出点
的位置并说明;若不存在,请说明理由;
(2)求点平面
的距离.
【答案】(1)为棱
的中点;(2)
.
【解析】
试题分析:(1)当点为棱
的中点时,
,
,
,
四点共面,利用中位线,有
,即可得四点共面;(2)取
中点
,连结
,
,
,易证
平面
,利用等体积法,根据
,有
,计算得
,即点
到平面
的距离为
.
试题解析:
(1)当点为棱
的中点时,
,
,
,
四点共面.证明如下:
取棱的中点
,连结
,
,又
为
的中点,所以
,
在菱形中
,所以
,
所以,
,
,
四点共面.
(2)点到平面
的距离即点
到平面
的距离,取
中点
,连结
,
,
,
依题意可知△,△
均为正三角形,所以
,又平面
平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
,即
为三棱锥
的高.
在中,
,
,
在△中,
,
,边
上的高
,
所以△的面积
.
设点到平面
的距离为
,由
,得
,
又,
∴,
解得,所以点
到平面
的距离为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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