Question

12．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$．
（1）求f（x）定义域：
（2）判断f（x）奇偶性；
（3）求证f（x）在定义域上为单调增函数；
（4）大致画出函数的草图．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式可得2^x≠0，求得x∈R，可得函数的定义域为R．
（2）再根据f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$-2^x =-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）根据导数的符号可得函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$在定义域上得单调性．
（4）结合函数的解析式以及性质，可得函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$的图象．

解答 解：（1）根据函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，可得2^x≠0，求得x∈R，可得函数的定义域为R．
（2）再根据f（-x）=$\frac{1}{{2}^{x}}$-2^x =-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（3）由于f′（x）=2^xln2+$\frac{ln2}{{2}^{x}}$＞0，可得函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$在定义域上为单调增函数．
（4）函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$的图象如图所示：

点评 本题主要考查求函数的定义域，函数的单调性和奇偶性，函数的图象，属于中档题．