题目内容
2.求下列函数的定义域和值域.(1)y=($\frac{1}{2}$)${\;}^{\frac{1}{x-3}}$;
(2)y=3-|x|;
(3)y=2${\;}^{2x-{x}^{2}}$.
分析 (1)直接由指数不等于0求得原函数的值域;
(2)由-|x|≤0,结合指数函数的单调性求得函数的值域;
(3)令t=2x-x2换元,利用配方法求出t的范围,然后结合指数函数的单调性得答案.
解答 解:(1)∵$\frac{1}{x-3}≠0$,
∴($\frac{1}{2}$)${\;}^{\frac{1}{x-3}}$≠1,则函数y=($\frac{1}{2}$)${\;}^{\frac{1}{x-3}}$的值域为(0,1)∪(1,+∞);
(2)∵-|x|≤0,
∴3-|x|∈(0,1],则函数y=3-|x|的值域为(0,1];
(3)∵t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
∴2${\;}^{2x-{x}^{2}}$∈(0,2].
即函数y=2${\;}^{2x-{x}^{2}}$的值域为(0,2].
点评 本题考查函数的值域及其求法,考查了复合函数的值域,是基础题.
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