题目内容

(本小题满分12)直三棱柱ABC -A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点DAB上.
(Ⅰ)求证:ACB1C
(Ⅱ)若DAB中点,求证:AC1∥平面B1CD
(Ⅲ)当时,求二面角的余弦值.
18.(Ⅰ)证明:在△ABC中,因为 AB=5,AC=4,BC=3,
所以AC2+ BC2= AB2, 所以 ACBC.                      
因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以C C1AC.                  
因为BCAC =C所以 AC⊥平面B B1C1C.     
所以ACB1C.         …………4分
(Ⅱ)证明:连结BC1,交B1CE,连接DE
因为直三棱柱ABC-A1B1C1DAB中点,所以侧面B B1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线,
所以DE// AC1.因为DE平面B1CD AC1平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.........8分

(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知ACBC,如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.则B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1(0, 4, 4),B1(3, 0, 4).
D (a, b, 0)(),
因为点D在线段AB上,且,即
所以, ,
平面BCD的法向量为.设平面B1 CD的法向量为
,得
所以.所以 
所以二面角的余弦值为.……………12分
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