题目内容
【题目】已知圆:
,点
,直线
.
(1)求与圆相切,且与直线
垂直的直线方程;
(2)在直线上(
为坐标原点),存在定点
(不同于点
),满足:对于圆
上的任一点
,都有
为一常数,试求出所有满足条件的点
的坐标.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据所求直线与已知直线垂直,可设出直线方程,再根据直线与圆相切,所以有(其中
表示圆心到直线的距离),可得到直线方程;(2)方法一:假设存在这样的点
,由于
的位置不定,所以首先考虑特殊位置,①
为圆
与
轴左交点;②
为圆
与
轴右交点这两种情况,由于对于圆
上的任一点
,都有
为一常数,可得①②两种情况下的
相等, 可得到
,然后证明在一般的
下,
为一常数.方法二:设出
,根据对于圆
上的任一点
,都有
为一常数,设出
以及该常数
,通过
,代入
的坐标化简,转化为恒成立问题求解.
(1)已知直线变形为,因为所求直线与已知直线垂直,
所以设所求直线方程为,即
.
由直线与圆相切,可知,其中
表示圆心到直线的距离,
则,得
,故所求直线方程为
.
(2)假设存在这样的点,
当为圆
与
轴左交点
时,
,
当为圆
与
轴右交点
时,
依题意,,解得
(舍去),或
.
下面证明:点对于圆
上任一点
,都有
为一常数.
设,则
.
,
从而为常数.
方法2:假设存在这样的点,使得
为常数
,则
,
设于是
,由于
在圆上,所以
,代入得,
,
即对
恒成立,
所以,解得
或
(舍去),
故存在点对于圆
上任一点
,都有
为一常数
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】高一学年结束后,要对某班的50名学生进行文理分班,为了解数学对学生选择文理科是否有影响,有人对该班的分科情况做了如下的数据统计:
理科人数 | 文科人数 | 总计 | |
数学成绩好的人数 | 25 | 30 | |
数学成绩差的人数 | 10 | ||
合计 | 15 |
(Ⅰ)根据数据关系,完成列联表;
(Ⅱ)通过计算判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为数学对学生选择文理科有影响.
附:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学(男
女
),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人)
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | |||
女同学 | |||
总计 |
(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在
分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为
,求
的分布列及数学期望
.