Question

【题目】定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），总有f（mn）=f（m）f（n），且f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＞1．
（1）求f（1），f（﹣1）的值；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：令m=n=1，则有f（1）=f（1）f（1），

又f（x）＞0，则f（1）=1

令m=n=﹣1，则有f（1）=f（﹣1）f（﹣1），

又f（1）=1，f（x）＞0，则f（﹣1）=1

（2）解：证明：定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

令m=x，n=﹣1，则有f（﹣x）=f（x）f（﹣1）=f（x），

所以f（x）为偶函数

（3）解：证明：x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2

令mn=x1，m=x2，则 ，

所以 ，

又f（x）＞0， ，由x1＞x2＞0，则 ，

而当x＞1时，f（x）＞1，

所以 ，即 ，

又f（x）＞0，所以f（x1）＞f（x2），

所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数

【解析】（1）令m=n=1，m=n=﹣1，求f（1），f（﹣1）的值；（2）令m=x，n=﹣1，判断函数的奇偶性；（3）设x1＞x2 ， 由已知得出 ，即可判断出函数f（x）在R上单调递增．