题目内容

【题目】已知y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两相等实根,且f′(x)=2x+2
(1)求f(x)的解析式.
(2)求函数y=f(x)与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积.

【答案】
(1)解:∵y=f(x)是二次函数,且f'(x)=2x+2.∴可设f(x)=x2+2x+c.

又∵方程f(x)=0有两个相等实根,

∴△=4﹣4c=0c=1,

∴f(x)=x2+2x+1


(2)解:∵函数f(x)=x2+2x+1与函数y=﹣x2﹣4x+1的图象交于点(0,1),(﹣3,4),

∴两函数图象所围成的图形的面积为 =


【解析】(1)用待定系数法设出解析式,据△=0,和f′(x)=2x+2确定结果.(2)利用定积分求曲边图形面积,找准积分区间和被积函数.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用定积分的概念的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.

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