Question

【题目】已知数列{an}满足a1=2，前n项和为Sn ， 若Sn=2（an﹣1），（n∈N+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2 ， 若cn=anbn ， 求{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=2（an﹣1），

∴当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2（an﹣1）﹣2（an﹣1﹣1）

=2（an﹣an﹣1），则an=2an﹣1，

又a1=2，则数列{an}是以2为首项、公比的等比数列，

∴ =2n

（2）解：由（1）得，bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2

=（n+1）2﹣n2=2n+1，

∴cn=anbn=（2n+1）2n，

∴Tn=3×2+5×22+…+（2n+1）×2n，①

则2Tn=3×22+5×23+…+（2n+1）×2n+1，②

①﹣②得：﹣Tn=6+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）2n+1

=6+2× ﹣（2n+1）2n+1=（﹣2n+1）2n+1﹣2，

∴Tn=（2n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）由题意和当n≥2时an=Sn﹣Sn﹣1进行化简，得到数列的递推公式，由等比数列的定义判断出数列{an}是等比数列，由等比数列的通项公式求出{an}的通项公式；（2）由（1）和对数的运算化简bn=（log2an+1）2﹣（log2an）2 ， 代入cn=anbn化简后，利用错位相减法和等比数列的前n项和公式求Tn ．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．