题目内容

【题目】设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)= ,已知曲线y=f(x)在x=1处的切线过点(2,3).
(1)求实数a的值.
(2)是否存在自然数k,使得函数y=f(x)﹣g(x)在(k,k+1)内存在唯一的零点?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由.
(3)设函数h(x)=min{f(x),g(x)},(其中min{p,q}表示p,q中的较小值),对于实数m,x0∈(0,+∞),使得h(x0)≥m成立,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:由f(x)=(x+a)lnx,得f′(x)=lnx+

则f'(1)=a+1,f(1)=0,

∴f(x)在x=1处的切线方程为y=(1+a)(x﹣1),代入(2,3),得3=1+a,即a=2


(2)解:存在k=1符合题意,证明如下:

当x∈(0,1]时,φ(x)<0,φ(2)=

∴φ(1)φ(2)<0.

可得x0∈(1,2),使得φ(x0)=0,

φ′(x)=lnx+ +

当x∈(1,2)时,φ′(x)>1+ >0;

当x∈[2,+∞)时,φ′(x)=lnx+ + >0.

即x∈(1,+∞)时,φ′(x)>0.

φ(x)在(1,+∞)上单调递增.

可得φ(x)=0在(1,2)有唯一实根.

∴存在k=1使得函数y=f(x)﹣g(x)在(k,k+1)内存在唯一的零点


(3)解:x0∈(0,+∞),使得h(x0)≥m成立,则m≤hmax(x).

由(2)知,函数y=f(x)﹣g(x)在(k,k+1)内存在唯一的零点x0

当x∈(0,x0)时,f(x)<g(x),x∈(x0,+∞)时,f(x)>g(x),

∴h(x)=

当x∈(0,x0]时,若x∈(0,1],h(x)=f(x)≤0,

若x∈(1,x0],h′(x)=lnx+ >0,h(x)在(1,x0]上单调递增,

∴0<h(x)≤h(x0),

当x∈(x0,+∞)时,h′(x)=

可得x∈(x0,2)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,x∈(2,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减.

∴x∈(x0,+∞)时,h(x)≤h(2)= ,且h(x0)<h(2).

可得

时,x0∈(0,+∞),使得h(x0)≥m成立


【解析】(1)利用导数求出函数f(x)在x=1处的切线方程,把点(2,3)代入切线方程即可求得实数a的值;(2)构造函数 ,利用导数判断x∈(1,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)在(1,+∞)上单调递增.结合φ(1)φ(2)<0,可得x0∈(1,2),使得φ(x0)=0,从而求得k值;(3)由题意写出分段函数h(x),然后利用导数分类求出函数的最大值,得到h(x)在(0,+∞)上的最大值,即可求得满足条件的实数m的取值范围.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网