题目内容
【题目】设f(x)=si n-2cos2
+1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈时,y=g(x)的最大值.
【答案】(1)f(x)=,T=8.(2)
【解析】试题分析:(1)先根据两角差正弦公式、二倍角余弦公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式,再根据正弦函数性质求周期(2)根据对称性,利用转移法求函数y=g(x),再根据自变量范围,利用余弦函数性质求最值
试题解析:(1)f(x)=sinxcos
-cos
xsin
-cos
x=
sin
x-
cos
x=
sin
,
故f(x)的最小正周期为T==8.
(2)法一:
在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)),它关于x=1的对称点为(2-x,g(x)).
由题设条件,点(2-x,g(x))在y=f(x)的图象上,从而g(x)=f(2-x)=sin
=
sin
=
cos
,
当0≤x≤时,
≤
x+
≤
,因此y=g(x)在区间
上的最大值为ymax=
cos
=
.
法二:
因区间关于x=1的对称区间为
, 且y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故y=g(x)在区间
上的最大值为y=f(x)在区间
上的最大值.
由(1)知f(x)=sin
.当
≤x≤2时,-
≤
x-
≤
.
因此y=g(x)在区间上的最大值为ymax=
sin
=
.

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