题目内容
【题目】已知过点且斜率为
的直线
与圆
:
交于点
两点.
(1)求的取值范围;
(2)请问是否存在实数k使得(其中
为坐标原点),如果存在请求出k的值,并求
;如果不存在,请说明理由。
【答案】(1)(2)|MN|=2
【解析】
试题分析:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,用点斜式求得直线l的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值,可得满足条件的k的范围;(2)由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,根据直线和圆相交的弦长公式进行求解
试题解析:(1)由题意可得,直线l的斜率存在,
设过点A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx-y+1=0.
由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=1.
故由,解得:
.
故当,过点A(0,1)的直线与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点.
(2)设M;N
,
由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,
可得,
∴,
∴,
由,解得 k=1,
故直线l的方程为 y=x+1,即 x-y+1=0.
圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径.
所以|MN|=2
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