Question

10．已知x，y，z为正实数，且x²+y²+z²=2．则t=$\sqrt{5}$xy+yz的最大值是$\sqrt{6}$，此时（x，y，z）=（$\frac{\sqrt{30}}{6}$，1，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）．

Answer 1

分析 2=x²+y²+z²=（x²+$\frac{5}{6}$y²）+（$\frac{1}{6}$y²+z²），利用基本不等式，即可求出$\sqrt{5}$xy+yz的最大值．

解答 解：因为2=x²+y²+z²=（x²+$\frac{5}{6}$y²）+（$\frac{1}{6}$y²+z²）
≥2$\sqrt{\frac{5}{6}}$xy+2$\sqrt{\frac{1}{6}}$yz=$\frac{\sqrt{6}}{3}$（$\sqrt{5}$xy+yz），
所以$\sqrt{5}$xy+yz≤$\sqrt{6}$，
故$\sqrt{5}$xy+yz的最大值为$\sqrt{6}$．此时x=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，y=1，z=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$，（$\frac{\sqrt{30}}{6}$，1，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，2=x²+y²+z²=（x²+$\frac{5}{6}$y²）+（$\frac{1}{6}$y²+z²）是解题的关键．