Question

19．求函数y=$\frac{{x}^{2}+a}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$（a＞0）的最小值．

Answer 1

分析 将函数变形为y═$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{a-1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，令t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$（t≥1），则y=t+$\frac{a-1}{t}$，对a讨论，当a≤1时，当a≥2时，当1＜a＜2时，结合基本不等式和函数的单调性，即可得到最小值．

解答 解：函数y=$\frac{{x}^{2}+a}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{{x}^{2}+1+a-1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{a-1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$，
令t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$（t≥1），则y=t+$\frac{a-1}{t}$，
当a≤1时，函数y在[1，+∞）递增，即有y_min=1+a-1=a；
当a≥2时，a-1≥1，y=t+$\frac{a-1}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{a-1}{t}}$=2$\sqrt{a-1}$，
当且仅当t=$\sqrt{a-1}$取得等号；
当1＜a＜2时，0＜a-1＜1，函数y在[1，+∞）递增，即有y_min=1+a-1=a．
综上可得a＜2时，函数的最小值为a；a≥2时，函数的最小值为2$\sqrt{a-1}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查分类讨论的思想方法和基本不等式的运用，以及单调性的运用，属于中档题和易错题．