Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为（　　）

• A、

  6

  3

• B、

  2 5

  5

• C、

  15

  5

• D、

  10

  5

Answer 1

分析：由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．

解答：解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C₁（0，2，1）
∴

BC1

=（-2，0，1），

AC

=（-2，2，0），

AC

且为平面BB₁D₁D的一个法向量．
∴cos＜

BC1

，

AC

＞═

4

5 • 8

=

10

5

．
∴BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为

10

5

故答案为D．

点评：此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．