Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx﹣ x2﹣x+a（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）设两个极值点分别为x1 ， x2 ， 证明：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，f（x）=xlnx﹣x．

函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx；

当x＞1时，f'（x）＞0；当0＜x＜1时，f'（x）＜0．

所以，f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．

（2）解：（ⅰ）依题意，函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）=lnx﹣ax

所以方程f'（x）=0在x＞0上有两个不同根，即：

方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根，转化为：函数y=lnx与函数y=ax

的图象在x＞0上有两个不同交点，如图．

可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．

令切点A（x0，lnx0），所以k= ，又k= ，所以 ，

解得：x0=e，于是k= ，

所以，0＜a＜ ．

（ⅱ）由（i）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，

即lnx1=ax1，lnx2=ax2，

不妨设x1＞x2，作差得，ln =a（x1﹣x2），即a= ．

原不等式

等价于

令 ，则t＞1，

设 ， ，

∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，

∴g（t）＞g（1）=0，

即不等式 成立，

故所证不等式 成立．

【解析】（1）对f（x）求导，利用导数来判断f（x）的图形单调性；（2）（i）函数f（x）在其定义域内有两个不同的极值点转化为：方程lnx﹣ax=0在x＞0上有两个不同根．（ii）x1 ， x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1 ， lnx2=ax2；不妨设x1＞x2 ， 作差得，ln =a（x1﹣x2），即a= ．原不等式 等价于 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．