Question

15．已知函数f（x）是二次函数，且函数f（x）满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x²-$\sqrt{f（x）}$，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）设函数f（x）=ax²+bx+c，则由f（0）=2得，c=2；化简f（x+1）-f（x）=2x-1对任意x∈R都成立可得2ax+a+b=2x+1对任意x恒成立，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）g（x）=x²-$\sqrt{f（x）}$=x²-$\sqrt{{x}^{2}+2}$，利用换元法，结合二次函数的图象和性质，可得函数g（x）的值域．

解答 解：（1）设函数f（x）=ax²+bx+c，
则由f（0）=2得，c=2；
由f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）
=2ax+a+b=2x+1对任意x恒成立，
则2a=2，a+b=1；
则a=1，b=0；
则f（x）=x²+2．
（2）∵g（x）=x²-$\sqrt{f（x）}$=x²-$\sqrt{{x}^{2}+2}$，
令t=$\sqrt{{x}^{2}+2}$，t≥$\sqrt{2}$，
则x²=t²-2，
则y=g（x）=t²-t-2，t≥$\sqrt{2}$，
由y=t²-t-2的图象是开口朝上，且以直线t=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
故当t=$\sqrt{2}$时，函数取最小值$\sqrt{2}$，无最大值，
即函数g（x）的值域为[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．