Question

2．数列{a_n}的通项公式a_n=$\root{n}{n}$，用二项式定理证明a_n＜$\sqrt{\frac{2}{n}}$+1．

Answer 1

分析 要证a_n＜$\sqrt{\frac{2}{n}}$+1，即证$\root{n}{n}$＜$\sqrt{\frac{2}{n}}$+1，也就是证n＜（$\sqrt{\frac{2}{n}}$+1）ⁿ，再利用二项式定理即可证明．

解答 证明：要证a_n＜$\sqrt{\frac{2}{n}}$+1，即证$\root{n}{n}$＜$\sqrt{\frac{2}{n}}$+1，
也就是证n＜（$\sqrt{\frac{2}{n}}$+1）ⁿ，
当n=1时，1＜$\sqrt{2}$+1，显然成立；
当n=2时，2＜（1+1）²=4，显然成立；
当n≥3时，（$\sqrt{\frac{2}{n}}$+1）ⁿ=（1+$\sqrt{\frac{2}{n}}$）ⁿ=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$$\sqrt{\frac{2}{n}}$+${C}_{n}^{2}$（$\sqrt{\frac{2}{n}}$）²+…
＞1+$\sqrt{2n}$+（n-1）＞1+n-1=n，
综合以上情形，故有a_n＜$\sqrt{\frac{2}{n}}$+1．

点评 本题考查二项式定理证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．