题目内容

15.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点.
(Ⅰ)求证:MN∥平面ABC;
(Ⅱ)再若AC=BC,BB1=$\sqrt{2}$AB,试在BB1上找一点F,使A1B⊥平面CDF,并证明你的结论.

分析 (Ⅰ)连接A1H(H为B1C1的中点),由M、N分别为AA1、BC1的中点可得,MN∥A1H,又A1H?平面A1B1C1,MN?平面A1B1C1,即可证明MN∥平面ABC.
(Ⅱ)作DE⊥A1B交A1B于E,延长DE交BB1于F,连接CF,则A1B⊥平面CDF,点F即为所求,根据CD⊥平面AA1BB,A1B?平面AA1B1B,则CD⊥A1B,A1B⊥DF,DF∩CD=D,满足线面垂直的判定定理,则A1B⊥平面CDF.

解答 解:(Ⅰ)证明:连接A1H(H为B1C1的中点),由M、N分别为AA1、BC1的中点可得,
MN∥A1H,又∵A1H?平面A1B1C1,MN?平面A1B1C1
∴MN∥平面A1B1C1
∴由ABC-A1B1C1是直三棱柱,从而有MN∥平面ABC;
(Ⅱ)解:作DE⊥A1B交A1B于E,延长DE交BB1于F,连接CF,则A1B⊥平面CDF,点F即为所求.
∵CD⊥平面AA1B1B,A1B?平面AA1B1B,
∴CD⊥A1B.又A1B⊥DF,DF∩CD=D,
∴A1B⊥平面CDF.
∴此时点F为靠近B的四等分点.

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,考查了空间想象能力和推理论证能力,应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理,属于中档题.

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