Question

10．已知直线AC与⊙O相切于点B，AD交⊙O于F、D两点，CF交⊙O于E、F，BD∥CE，AB=BC，AD=2，BD=1
（1）求证：△BDF～△FBC；
（2）求CE的长．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和旋切角定理来推知：△BDF～△FBC；
（2）利用切割线定理，求出AB，可得BC，即可求出CE．

解答 （1）证明：如图，∵BD∥CE，
∴∠DBF=∠BFC．
又∵BC是切线，BF是弦，
∴∠BDF=∠FBC，
∴△BDF～△FBC；
（2）∵BD∥CE，AB=BC，
∴BD是△AFC的中位线，
∴AD=DF，CF=2，
∵直线AC与圆O相切于点B，
∴AB²=AD•AF，
∵AD=2，AF=2AD=4，
∴AB=BC=2$\sqrt{2}$．
∵BC²=CF•CE，
∴8=2CE，
∴CE=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段．解题时，利用了旋切角定理和切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．