题目内容

已知线段AB的端点B的坐标是(1,2),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M是AB的中点.
(1)若点M的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;
(2)设直线l:x+y+3=0,求曲线C上的点到直线l距离的最大值和最小值.
(1)设线段AB中点M(x,y),A(x1,y1),
由题意知:x=
x1+1
2
,y=
y1+2
2

∴x1=2x-1,y1=2y-2,
∵点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,
∴(2x-1+1)2+(2y-2)2=4,
整理,得x2+(y-1)2=1,
∴点M的轨迹方程是:x2+(y-1)2=1,表示以(0,1)为圆心,1为半径的圆.
(2)由圆的标准方程x2+(y-1)2=1,
∴圆心(0,1),半径r=1,
∵圆心到直线x+y+3=0的距离d=
|0+1+3|
2
=2
2

∴圆上的点到直线的最大距离:2
2
+1
,最小距离:2
2
-1
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