题目内容
【题目】已知函数.
(1)已知直线:
,
:
若直线
与
关于
对称,又函数
在
处的切线与
平行,求实数
的值;
(2)若,证明:当
时,
恒成立.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)首先利用直线一定过
与
的交点,再利用直线
上任意点关于
对称的点都在直线
上,之后应用两点是式求得直线
的方程,求得其斜率,即为函数
的值,从而求得结果;
(2)利用导数研究函数的单调性,从而证得结果.
(1)由解得
必过
与
的交点
.
在上取点
,易得点
关于
对称的点为
,
即为直线
,所以
的方程为
,
即,其斜率为
.
又,
所以函数在
处的切线的斜率为
,
由题意可得,解得
.
(2)法一:因为
所以,
①若,
.∴
在
上单调递减.
②若,当
,
或
时,
时,
当时,
.
∴在
,
上单调递减,在
上单调递增.
综上,当时,函数
在
上单调递减,
所以,又
所以,当时,
恒成立.
法二:要证,即证
,
因为,即证
.
∵,∴
.
设,则
.
设,则
,
在上,
恒成立.
∴在
上单调递增.
又∵,∴
时,
,
所以在
上单调递增,
∴,∴
,
,
所以,
所以在
上恒成立.
即当时,
恒成立.
综上,当时,
恒成立.
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