题目内容
【题目】已知矩形EFMN,,
,以EF的中点O为原点,建立如图的平面直角坐标系,若椭圆
以E,F为焦点,且经过M,N两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与
相交于A,B两点,在y轴上是否存在点C,使得△ABC为正三角形,若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)
或
【解析】
(1)根据椭圆的定义求解标准方程即可.
(2)先假设轴上存在点
使得
为等边三角形,设
中点为
,再根据几何关系可知
,再联立直线与椭圆方程,利用弦长公式等列式计算即可.
(1)设椭圆的方程为,
,
则根据题意有,由椭圆的定义有
,
,故
,所以
.
故椭圆的方程为.
(2) 假设轴上存在点
使得
为等边三角形,设
.
中点为
,则
,
.
联立 ,整理得
.
则,解得
.
由韦达定理得,
,
故,
又,
,即
,则直线
的方程为
,令
,可得
,即
.
又因为,故
,
即 .解得
,满足
.
故轴上存在点
使得
为等边三角形,此时
或
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关,该学校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢游泳 | 不喜欢游泳 | 合计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 20 | ||
合计 |
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为.
(1)请将上述列联表补充完整;
(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关?并说明你的理由;
(3)已知在被调查的学生中有5名来自甲班,其中3名喜欢游泳,现从这5名学生中随机抽取2人,求恰好有1人喜欢游泳的概率.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)
【题目】为增强市民交通规范意识,我市面向全市征召劝导员志愿者,分布于各候车亭或十字路口处.现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,他们的年龄情况如下表所示.
分组(单位:岁) | 频数 | 频率 |
5 | ||
① | ||
② | ||
合计 |
(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据?并在答题卡中补全频率分布直方图(如图),再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数;
(2)在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望.