题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数图象在点
处的切线方程为
,求
的值;
(Ⅱ)求函数的极值;
(Ⅲ)若,
,且对任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用导数的几何意义,先对进行求导,再利用
,可求出
的值;(Ⅱ)求出
的表达式,再分别对
两种进行讨论,可得到函数
的极值;(Ⅲ)函数恒成立问题,两种思路,一种是
,另一种是用参变分离的方法求解.
试题解析:(Ⅰ),∴
.
函数图象在点
处的切线方程为
∴
.
(Ⅱ)由题意可知,函数的定义域为
,
.
当时,
,
,
为增函数
,
,
为减函数,所以
,
.
当时,
,
,
为减函数,
,
,
为增函数,所以
,
.
(Ⅲ)“对任意的,
恒成立”等价于“当
时,对任意的
,
成立”,当
时,由(Ⅱ)可知,函数
在
上单调递增,在
上单调递减,而
,所以
的最小值为
,
,当
时,
,
时,
,显然不满足
,
当时,令
得,
,
,
(ⅰ)当,即
时,在
上
,所以
在
单调递增,所以
,只需
,得
,所以
.
(ⅱ)当,即
时,在
,
,
单调递增,在
,
,
单调递减,所以
,
只需,得
,所以
.
(ⅲ)当,即
时,显然在
上
,
单调递增,
,
不成立,
综上所述,的取值范围是
.
(用分离参数做答酌情给分)
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