Question

5．已知圆C：x²+y²-2y-4=0．
（1）求过点P（$\sqrt{5}$，0）与圆C相切的直线方程；
（2）若过点Q（1，1）的直线l₁，与圆C相交所得弦长为4，求直线l₁的方程；
（3）若由直线l₂：4x+3y-24=0上的动点M向圆C作切线，求所得切线长的最小值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求过点P（$\sqrt{5}$，0）与圆C相切的直线方程；
（2）分类讨论，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求出直线l₁的方程；
（3）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求出所得切线长的最小值．

解答 解：（1）C：x²+y²-2y-4=0可化为：x²+（y-1）²=5，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=$\sqrt{5}$，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x-$\sqrt{5}$），即kx-y-$\sqrt{5}$k=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-1-\sqrt{5}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，∴k=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴直线的方程为y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x-$\sqrt{5}$），
综上，直线的方程为x=$\sqrt{5}$，或y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（x-$\sqrt{5}$）；
（2）若过点Q（1，1）的直线l₁，斜率不存在时，直线的方程为x=1，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵与圆C相交所得弦长为4，
∴4+（$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$）²=5，无解．
综上，直线l₁的方程为x=1；
（3）圆心到直线的距离d=$\frac{|0+3-24|}{5}$=$\frac{21}{5}$，
∴所得切线长的最小值为$\sqrt{（\frac{21}{5}）^{2}-5}$=$\frac{6\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．