题目内容
【题目】设椭圆
的离心率为
，圆
与
轴正半轴交于点
， 圆
在点处的切线被椭圆
截得的弦长为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设圆上任意一点
处的切线交椭圆于点
、
，求证：
为定值.
【答案】(1) 
(2)见证明
【解析】
(1)由离心率为
得b=c,再根据圆
在点
处的切线被椭圆
截得的弦长为
得到点
在椭圆上，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）先证明当过点
与圆相切的切线斜率不存在时
，再证明当过点与圆相线的切线斜率存在时，即得证.
(1)设椭圆的半焦距为
由椭圆的离心率为，
由题知
，
椭圆的方程为
易求得
，点在椭圆上，
，解得
，
椭圆的方程为.
(2)当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为
，
由(1)知， 
，
，
，
，
当过点与圆相线的切线斜率存在时，可设切线的方程为
，
，
，即
联立直线和椭圆的方程得
，
，
得
，
且
，
综上所述，圆上任意一点
、
处的切线交椭圆于点，都有，
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【题目】某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
的包裹收费
元；重量超过
的包裹，除
收费
元之外，超过
的部分，每超出
（不足
，按
计算）需再收
元.该公司将最近承揽的
件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位： |
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包裹件数 |
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公司对近
天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围 |
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包裹件数 （近似处理） |
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天数 |
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以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来
天内恰有
天揽件数在
之间的概率；
（2）（i）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（ii）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员
人，每人每天揽件不超过
件，工资
元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减
人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
