题目内容
【题目】设椭圆的离心率为,圆与轴正半轴交于点, 圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、,求证:为定值.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
(1)由离心率为得b=c,再根据圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为得到点在椭圆上,解方程组即得椭圆的标准方程;(2)先证明当过点与圆相切的切线斜率不存在时,再证明当过点与圆相线的切线斜率存在时,即得证.
(1)设椭圆的半焦距为由椭圆的离心率为,
由题知,
椭圆的方程为
易求得,点在椭圆上,
,解得,
椭圆的方程为.
(2)当过点与圆相切的切线斜率不存在时,不妨设切线的方程为,
由(1)知, ,,
,,
当过点与圆相线的切线斜率存在时,可设切线的方程为,,
,即
联立直线和椭圆的方程得,
,
得,
且,
综上所述,圆上任意一点、 处的切线交椭圆于点,都有,
【题目】某快递公司收取快递费用的标准是:重量不超过的包裹收费元;重量超过的包裹,除收费元之外,超过的部分,每超出(不足,按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如下:
包裹重量(单位: ) | |||||
包裹件数 |
公司对近天,每天揽件数量统计如下表:
包裹件数范围 | |||||
包裹件数 (近似处理) | |||||
天数 |
以上数据已做近似处理,并将频率视为概率.
(1)计算该公司未来天内恰有天揽件数在之间的概率;
(2)(i)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;
(ii)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人,每人每天揽件不超过件,工资元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人,试计算裁员前后公司每日利润的数学期望,并判断裁员是否对提高公司利润更有利?