题目内容
【题目】已知椭圆
的右顶点为
，左焦点为
，离心率
，过点的直线与椭圆交于另一个点
，且点在
轴上的射影恰好为点，若
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过圆
上任意一点
作圆
的切线
与椭圆交于
，
两点，以
为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
；（2）以
为直径的圆恒过坐标原点.
【解析】
（1）先根据离心率得
，
，再根据点B在椭圆上得B点纵坐标，最后根据三角形面积公式解得
，即得
，（2）先考虑直线
的斜率不存在情况，确定定点，再利用韦达定理以及向量数量积论证圆过坐标原点.
（1）∵
，∴，，
设
，代人椭圆方程得： 
，
∴
，
∴
，
∴，
∴，
∴椭圆
的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的圆心为
或
，半径为2，
以为直径的圆的标准方程为： 
或
，
因为两圆都过坐标原点，∴以为直径的圆过坐标原点，
当直线的斜率存在时，设其方程为
，
，
，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
，
所以
，
由
，
化简得：
，
∴
，
，
∴
，
∴以为直径的圆过坐标原点，
综上，以为直径的圆恒过坐标原点.
【题目】“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律。爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入
（亿元）与科技改造直接收益
（亿元）的数据统计如下：
| 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 66 |
当
时，建立了与的两个回归模型：模型①：
；模型②：
；当
时，确定与满足的线性回归方程为：
.
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数
，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
| 182.4 | 79.2 |
（附：刻画回归效果的相关指数
，
.）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式
；
）
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效
大幅提高，服从正态分布
，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过
，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过
，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.
（附：随机变量
服从正态分布
，则
，
.）
【题目】随着科技的发展，近年看电子书的国人越来越多；所以近期有许多人呼呼“回归纸质书”，目前出版物阅读中纸质书占比出现上升现随机选出200人进行采访，经统计这200人中看纸质书的人数占总人数
.将这200人按年龄分成五组：第l组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，其中统计看纸质书的人得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求
的值及看纸质书的人的平均年龄；
（2）按年龄划分，把年龄在
的称青壮年组，年龄在
的称为中老年组，若选出的200人中看电子书的中老年人有10人，请完成下面
列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为看书方式与年龄层有关？
看电子书 | 看纸质书 | 合计 | |
青壮年 | |||
中老年 | |||
合计 |
附：
（其中
）.
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
