Question

3．求由正整数组成的集合S，使S中元素之和等于元素之积．

Answer 1

分析 若集合中只有一个元素显然成立；若S不是单元素集，经过推理可得，仅S={1，2，3}满足条件．

解答 解：若集合中只有一个元素显然成立．
若集合中有两个元素，设为a，b，则ab=a+b，即（a-1）（b-1）=1，解得a=b=2，这与a≠b矛盾，所以集合中至少三个元素．
设三个元素为a，b，c，且a＜b＜c，
若a≠1，则c＞3，则a+b+c＜abc，故a=1，
则1+b+c=bc，
若b≠2，则b≥3，1+b+c≤2c，bc＞2c，故b=2，
则3+c=2c，解得c=3，
故S={1，2，3}，
同理不存在元素大于3个的集合S满足条件．

点评 本题以集合为载体考查的知识点是逻辑推理，难度比较大，属于中档题．