题目内容
【题目】已知函数.
(1)证明:,
;
(2)判断的零点个数,并给出证明过程.
【答案】(1)证明见解析;(2)三个零点,证明见解析.
【解析】
(1)由函数是偶函数,只需利用导数证明函数
在区间
上的最大值
即可;
(2)由(1)得出函数在区间
上只有一个零点,然后利用函数值符号得出该函数在区间
上无零点,利用导数分析函数的单调性,并分析极值的符号,结合零点存在定理得出该函数在区间
上有且只有一个零点,由偶函数的性质得出该函数在区间
上也只有一个零点,从而得出函数
有三个零点.
(1),
,则该函数为偶函数,
只需证,其中
.
,
.
当时,令
,得
.
当时,
,此时,函数
单调递减;
当时,
,此时,函数
单调递增.
,
,
当时,
,此时,函数
单调递减,则
,
因此,对任意的,
;
(2)三个零点,证明如下:
由(1)可知,当时,函数
有一个零点
.
当时,
,此时,函数
无零点;
当时,
,
.
此时,函数单调递增,
,
.
由零点存在定理可知,存在,使得
.
当时,
,此时,函数
单调递减;
当时,
,此时,函数
单调递增.
,
,
.
由零点存在定理知,函数在区间
上无零点,在区间
上有且只有一个零点,即函数
在区间
上有且只有一个零点.
由于函数为偶函数,所以,函数
在
上无零点,在
上有且只有一个零点.
综上所述,函数有三个零点.
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