Question

18．已知函数f（x）=ax+b，x∈[-1，1]，a²+b²=1，求证|f（x）|≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 函数f（x）=ax+b，x∈[-1，1]，利用一次函数的性质可得|f（x）|≤|f（1）|=|a+b|，或|f（x）|≤|f（-1）|=|-a+b|，再利用（a+b）²≤2（a²+b²）=2，即可得出．

解答 证明：∵函数f（x）=ax+b，x∈[-1，1]，
∴|f（x）|≤|f（1）|=|a+b|，或|f（x）|≤|f（-1）|=|-a+b|，
由（a+b）²≤2（a²+b²）=2，
∴|a+b|$≤\sqrt{2}$，同理|a-b|$≤\sqrt{2}$．
∴|f（x）|$≤\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一次函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．