题目内容
【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量
（单位：
）和与它“相近”的株数
具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；
（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为
，计划收获后能全部售出，价格为10元
，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则
的最大值是多少？
（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
.
【答案】（1）
（2）每株“相近”的株数
的最大值为5.
（3）
的分布列为：
|
| 11 |
|
|
|
|
|
|
|
一株产量的期望为
【解析】
（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）先根据题意求得产量的范围，再根据回归方程解得m的范围即可；
（3）根据相邻株数的取值计算对应的产量，从而得出分布列和数学期望．
（1）由题意得：
，
，
∴
，
，
所以
，
，
所以
.
（2）设每株的产量为
，
根据题意：
，
解得
，
令
，
解得
，
所以每株“相近”的株数的最大值为5.
（3）由回归方程得：
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
由题意得：
，
，
，
，
所以的分布列为：
|
| 11 |
|
|
|
|
|
|
|
所以
，
所以一株产量的期望为.
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