题目内容
【题目】如图,已知四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,
,
平面
,
,
分别是
,
的中点.
(1)证明:;
(2)若,求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】
(1)先证明直线AE垂直于平面PAD,再由线面垂直证明线线垂直;
(2)根据等体积法,将问题转化为求解三棱锥的体积即可.
(1)因为E为BC中点,且,故AD=EC,又AD//EC,
故四边形AECD为平行四边形,故AE//CD,又CD,
故AEAD;
因为PA底面ABCD,AE
平面ABCD,故PA
AE
又AD平面PAD,PA
平面PAD,
故AE平面PAD,又PD
平面PAD
故AEPD.即证.
(2)在中,AF为斜边上的中线,又因为PA=AB=2,且PA
AB
故可得:AF=;
在中,因为AB=2,BE=1,且AE
BE,故可得AE=
故可得
在中,因为PA=2=AC,且PA
,故可得PC=
在中,因为EF分别为两边的中点,故EF=
故由余弦定理可得,则
.
故.
又因为F为PB的中点,且PA平面ABCD,
故F点到平面ABCD的距离为
设点C到平面AEF的距离为,
根据,即
解得.
故点到平面
的距离为
.

【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种,经研究发现该水果每株的产量(单位:
)和与它“相近”的株数
具有线性相关关系(两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
),并分别记录了相近株数为0,1,2,3,4时每株产量的相关数据如下:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
(1)求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数
的回归方程;
(2)有一种植户准备种植该种水果500株,且每株与它“相近”的株数都为,计划收获后能全部售出,价格为10元
,如果收入(收入=产量×价格)不低于25000元,则
的最大值是多少?
(3)该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点(直线的交点)处都种了一株该种水果,其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为,已知该梯形地块周边无其他树木影响,若从所种的该水果中随机选取一株,试根据(1)中的回归方程,预测它的产量的分布列与数学期望.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
.