题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
平面，
，
分别是
，
的中点.
（1）证明：
；
（2）若
，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见详解；(2)
【解析】
（1）先证明直线AE垂直于平面PAD，再由线面垂直证明线线垂直；
（2）根据等体积法，将问题转化为求解三棱锥
的体积即可.
（1）因为E为BC中点，且
，故AD=EC，又AD//EC，
故四边形AECD为平行四边形，故AE//CD，又CD
，
故AE
AD；
因为PA底面ABCD，AE
平面ABCD，故PAAE
又AD平面PAD，PA平面PAD，
故AE平面PAD，又PD平面PAD
故AEPD.即证.
（2）在
中，AF为斜边上的中线，又因为PA=AB=2，且PAAB
故可得：AF=
；
在
中，因为AB=2，BE=1，且AEBE，故可得AE=
故可得
在
中，因为PA=2=AC，且PA
，故可得PC=
在
中，因为EF分别为两边的中点，故EF=
故由余弦定理可得
，则
.
故
.
又因为F为PB的中点，且PA平面ABCD，
故F点到平面ABCD的距离为
设点C到平面AEF的距离为
，
根据
，即
解得
.
故点
到平面
的距离为
.
【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量
（单位：
）和与它“相近”的株数
具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；
（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为
，计划收获后能全部售出，价格为10元
，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则
的最大值是多少？
（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
.
