题目内容
【题目】已知,
为椭圆E:
的左、右焦点,过点
的直线l与椭圆E有且只有一个交点T.
(1)求面积的取值范围.
(2)若有一束光线从点射出,射在直线l上的T点上,经过直线l反射后,试问反射光线是否恒过定点?若是,请求出该定点;若否,请说明理由.
【答案】(1);(2)是,定点
【解析】
(1)由题意设直线l的方程为:,将
代入
,得
,由
,解得
,由韦达定理得切点T的
,
的面积
,根据m的范围即可求出;
(2)由对称性和(1)得,不妨取切点,则直线l:
,设
关于l对称的点为
,经计算得
,
,直线
恒过定点
,即可得答案.
(1),∴直线l的斜率存在且不为0,故设直线l的方程为l:
,
将代入
,得
,
因为直线l与椭圆E有且只有一个交点T,所以,解得
,
此时求得,由
,得
,
,所以切点T的坐标为
,又
,
,
所以的面积
,又
,
,
.
(2)由对称性和(1)得,不妨取切点,则直线l:
,设
关于l对称的点为
,
则,
,
.
,
,
故直线的斜率为
,
所以直线的方程为
,即
恒过定点
,
所以光线被直线l反射后恒过定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市,名优特产众多,其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调查表明,石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性,分别用表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度,并对它们进行量化:0表示一般,1表示良,2表示优,再用综合指标
的值评定石榴的等级,若
则为一级;若
则为二级;若
则为三级.
近年来,周边各地市也开始发展石榴的种植,为了了解目前石榴在周边地市的种植情况,研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园,得到如下结果:
种植园编号 | A | B | C | D | E | F |
种植园编号 | G | H | I | J | K | L |
(1)若有石榴种植园120个,估计等级为一级的石榴种植园的数量;
(2)在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个,表示取到三级石榴种植园的数量,求随机变量
的分布列及数学期望.
【题目】某水果种植基地引进一种新水果品种,经研究发现该水果每株的产量(单位:
)和与它“相近”的株数
具有线性相关关系(两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过
),并分别记录了相近株数为0,1,2,3,4时每株产量的相关数据如下:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
(1)求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数
的回归方程;
(2)有一种植户准备种植该种水果500株,且每株与它“相近”的株数都为,计划收获后能全部售出,价格为10元
,如果收入(收入=产量×价格)不低于25000元,则
的最大值是多少?
(3)该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点(直线的交点)处都种了一株该种水果,其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为,已知该梯形地块周边无其他树木影响,若从所种的该水果中随机选取一株,试根据(1)中的回归方程,预测它的产量的分布列与数学期望.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
.