Question

【题目】已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项 分别减去1，3，9后成等差数列．
（1）求{an}的首项和公比；
（2）设Sn=a12+a22+…+an2 ， 求Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据等比数列的性质，可得a3a5a7=a53=512，解之得a5=8．

设数列{an}的公比为q，则a3= ，a7=8q2，

由题设可得（ ﹣1）+（8q2﹣9）=2（8﹣3）=10

解之得q2=2或 ．

∵{an}是递增数列，可得q＞1，∴q2=2，得q= ．

因此a5=a1q4=4a1=8，解得a1=2

（2）解：由（1）得{an}的通项公式为an=a1qn﹣1=2× = ，

∴an2=[ ]2=2n+1，

可得{an2}是以4为首项，公比等于2的等比数列．

因此Sn=a12+a22+…+an2= =2n+2﹣4

【解析】（1）根据题意利用等比数列的性质，可得a53=512，解出a5=8．设公比为q，得a3= 且a7=8q2 ， 由等差中项的定义建立关于q的方程，解出q的值，进而可得{an}的首项；（2）由（1）得an=a1qn﹣1= ，从而得到an2=[ ]2=2n+1 ， 再利用等比数列的求和公式加以计算，可得求Sn的表达式．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．